研究成果報告書
高次元時空における時空特異点形成条件の解明
Numerical Investigations of Singularities in Higher-Dimensional Space-time
平成22年度-- 科学研究費補助金 基盤研究(C) 研究課題番号 22540293 平成23年(2011年) 4月 [初年度の研究成果報告]
平成24年(2012年) 4月 [第2年度の研究成果報告 追記]
真貝寿明 Hisaaki Shinkai
大阪工業大学情報科学部 教授
１．研究の目的（概要）
２．研究実績の概要（2010年度および2011年度）
３．研究成果の詳細（2010年度および2011年度）
４．研究発表リスト（2010年度および2011年度）
１．研究の目的（概要）
高次元時空における時空特異点・ブラックホールの形成・安定性問題を 数値的手段を用いて研究する． 5次元以上の時空は，これまでの宇宙描像を大きく変更するブレインモデルが 提案されて以降， トーラスのトポロジーを持つブラックホール解が発見されたり， 加速器実験による観測の可能性が示唆されるなど，近年たいへん 注目を集めている．本研究では， 高次元時空の本格的なダイナミクスを，対称性を課さずに計算できる 数値コードを開発する．そして， 時空特異点の形成条件やトーラス型ブラックホールの安定性を明らかにするほか， 一般相対性理論と超弦理論に基づく重力理論の違いを ダイナミクスの観点から提示する． また，一連の数値計算を長時間安定に時間発展させる定式化の研究も １つのテーマと位置づける．Lagrange乗数の自由度を用いて拘束面をアトラクターとする 定式化を行って計算実例を示すと共に， 拘束系力学全般に通用するような汎用化した定式化を提示する．
２．研究実績の概要（2010年度および2011年度）
1998年に，これまでの宇宙描像を大きく変更するブレインモデルが提案されて以降，5次元以上の時空構造の研究は，トーラスのトポロジーを持つブラックホール解が発見されたり，LHC加速器実験による観測の可能性が示唆されるなど，たいへん注目を集めている．本研究では，高次元時空の本格的なダイナミクスを，数値計算を用いて研究し，時空特異点の形成条件やブラックホールの安定性問題に取り組んでいる．また，計算手法の開発も課題としている．2010年度（H23年度）には，5次元時空での一般相対論的ダイナミクスを追うことのできるコードを開発し，重力崩壊現象について，4次元時空との比較を行った．具体的には，1991年にShapiro-Teukolskyによって報告された軸対称スピンドル形状の物質の重力崩壊をモデルにした．高次元になると，重力の伝播する自由度が大きくなることから，重力崩壊はより迅速に，より球対称形状に進むことがわかった．また，スピンドル形状が極端に長い場合には，ブラックホール地平面が形成せず，裸の特異点が出現する傾向も確かめられたが，5次元では地平面の形成条件もよりゆるいものであることが分かった[1]．
2011年度（H24年度）には， トーラス状に物質を初期配置して重力崩壊現象を試みた． 実際にリング状の地平面が出現するかどうかが焦点であったが， 物質が回転をもたない場合，トーラス形状の地平面（ブラックリング）が形成され，その後 球状の地平面に変化することが確認された．また， 物質が回転エネルギーを持つ場合（双方向回転の場合）を含めて扱えるように計算コードを改良したところ， リング形状の地平面のまま，ほぼ定常に保たれる場合が発見された．これらの結果は，予想の範囲内ではあるが， 回転則こそ異なるが，ブラックリング解が形成できたことになり，これまでに得られていない結果でもある． ブラックリング解の 安定性を解明するためには，より一層長時間積分を行う必要があり，座標条件等の工夫が必要である．この研究は次年度以降に持ち越された．また，安定な数値計算手法に関して，新たな定式化を行い，その有効性を確認した．2004年にFiskeによって提案された，運動方程式に拘束条件の2乗の汎関数微分項を加えるアイデアを，2010年度にはEinstein方程式の時間発展方法としてもっとも基本的なADM形式に適用した[2]．2011年度には現在世界的に標準となっているBSSN形式の方程式に適用した[3]． 我々は，Lagrange乗数の自由度を用いて拘束面をアトラクターとする定式化について，一連の研究を展開しているが，その１つとして，利点や難点を明らかにした．
３．研究成果の詳細（2010年度および2011年度）
PDF版 査読付論文誌掲載 Formation of naked singularities in five-dimensional space-time
by Y. Yamada and H. Shinkai
Physical Review D. 83, 064006 (2011) (5 pages)5 pages [1] 査読付論文誌掲載 Constraint propagation of $C^2$-adjusted formulation -- Another recipe for robust ADM evolution system --
by T. Tsuchiya, G. Yoneda, H. Shinkai
Physical Review D. 83, 064032 (2011) (10 pages)10 pages [2] 査読付論文誌掲載 Constraint propagation of $C^2$-adjusted formulation II. -- Another recipe for robust BSSN evolution system --
by T. Tsuchiya, G. Yoneda, H. Shinkai
Physical Review D 85, 044018 (2012) (12 pages)12 pages [3] 査読付論文誌投稿中 Numerical Investigation of Five-dimensional Gravitational Collapses
by H. Shinkai and Y. Yamada
submitted to Int. J. Mod. Phys. D.10 pages 国際会議集録原稿 Black Objects and Hoop Conjectue in Five-dimensional Space-time
by H. Shinkai and Y. Yamada
The 19th International Conference on General Relativity and Gravitation, Mexico City, Mexico, 2010年7月5 pages 国際会議集録原稿 Constraint Propagation of $C^2$-adjusted Equations
by H. Shinkai, T. Tsuchiya and Y. Yamada
The 19th International Conference on General Relativity and Gravitation, Mexico City, Mexico, 2010年7月5 pages 国際会議集録原稿 Black Objects and Hoop Conjectue in Five-dimensional Space-time
by Y. Yamada and H. Shinkai
The 20th Workshop on General Relativity and Gravitation (JGRG20)，京都大学， 2010年9月4 pages 国際会議集録原稿 Gravitational collapse of ring objects in five-dimensional space-time
by Y. Yamada and H. Shinkai
The 21th Workshop on General Relativity and Gravitation (JGRG21)，東北大学， 2011年9月4 pages 国際会議集録原稿 Constraint propagation and constraint-damping in the C^2-adjusted formulation
by Takuya Tsuchiya, Gen Yoneda and Hisa-aki Shinkai
The 21th Workshop on General Relativity and Gravitation (JGRG21)，東北大学， 2011年9月4 pages
４．研究発表リスト（2010年度および2011年度）
- H. Shinkai and Y. Yamada
Black Objects and Hoop Conjectue in Five-dimensional Space-time
The 19th International Conference on General Relativity and Gravitation, Mexico City, Mexico, 2010年7月- H. Shinkai, T. Tsuchiya, G. Yoneda
Constraint Propagation of $C^2$-adjusted Equations
The 19th International Conference on General Relativity and Gravitation, Mexico City, Mexico, 2010年7月- 土屋拓也，米田元，真貝寿明
Constraint Propagation of $C^2$-adjusted BSSN Equations
日本応用数理学会，明治大学，2010年9月- 山田祐太，真貝寿明
5次元ブラックリング形状の時間発展数値解析 (II)
日本物理学会，九州工業大学，2010年9月- Yuta Yamada, Hisa-aki Shinkai
Gravitational Collapse in Five-dimensional Spacetime
The 20th Workshop on General Relativity and Gravitation (JGRG20)，京都大学， 2010年9月- Yuta Yamada, Hisa-aki Shinkai
Gravitational Collapse in Five-dimensional Spacetime
International Conference on Particle Physics and Cosmology (COSMO), and International Symposium on Cosmology and Particle Astrophysics (CosPA 2010)，東京大学，2010年9月- Hisa-aki Shinkai
Gravitational Collapse in Five-dimensional Spacetime
2011 Shanghai Asia-Pacific School and Workshop on Gravitation，上海師範大学，中国， 2011年2月- 山田祐太，真貝寿明
5次元時空における重力崩壊と裸の特異点形成
日本物理学会，新潟大学， 2011年3月- 山田祐太，真貝寿明
5次元ブラックリングとフープ仮説
日本物理学会，弘前大学， 2011年9月- Yuta Yamada, Hisaaki Shinkai
Gravitational collapse of ring objects in five-dimensional space-time
The 21st workshop on General Relativity and Gravitation in Japan (JGRG21) 東北大学，2011年9月- Takuya Tsuchiya, Gen Yoneda, Hisaaki Shinkai
Constraint propagation and constraint-damping in the C2-adjusted formulation
The 21st workshop on General Relativity and Gravitation in Japan (JGRG21) 東北大学，2011年9月- 山田祐太，真貝寿明
5次元重力崩壊 -回転対称性と角運動量の効果-
第24回理論懇シンポジウム 「理論天文学・宇宙物理学の革新」，国立天文台，2011年11月- Yuta Yamada, Hisaaki Shinkai
Gravitational collapse in five-dimensional space-time
The 2nd AICS International Symposium，理化学研究所神戸，2012年3月- 山田祐太，真貝寿明
5次元重力崩壊 -回転対称性と角運動量の効果-
日本物理学会，関西学院大学，2012年3月